viernes, 28 de septiembre de 2012

ACERTIJO


LÓGICA

La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica. La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación. La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos las expresiones: lógica simbólica( o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal.

viernes, 21 de septiembre de 2012

logica matematicas

LOGICA MATEMATICA

 La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad. Proposiciones y operaciones lógicas. Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. Conectivos lógicos y proposiciones compuestas. Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son: Operador and (y) Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {Ù, un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica. Proposiciones condicionales. Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera: p ® q Se lee “Si p entonces q ” Proposición bicondicional. Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicional de la siguiente manera: p « q Se lee “p si solo si q” Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es. Tablas de verdad. En estos momentos ya se está en condiciones de elaborar cualquier tabla de verdad. A continuación se presenta un ejemplo para la proposición [(p®q)Ú (q’Ùr) ]« (r®q). p | q | r | q’ | p®q | (q’Ùr) | (p®q)Ú (q’Ùr) | r®q | [(p®q)Ú (q’Ùr) ]« (r®q) | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula. No de líneas = 2n Donde n = número de variables distintas. Es importante destacar a medida que se avanza en el contenido del material el alumno deberá participar activamente. Estos significa que cuando se esta definiendo proposiciones y características propias de ellas, además de los ejemplos que el maestro explique, el alumno deberá citar proposiciones diferentes, deberá entender el porque un enunciado no es válido. Cuando se ven conectores lógicos, los alumnos deberán saber emplearlos en la representación de proposiciones más complejas. Pero algo muy importante, es que los ejemplo que el maestro y los alumnos encuentren en la clase, deben ser de interés para el estudiante. Cuando se ven tablas de verdad el alumno deberá saber perfectamente bien el porque de cada uno de los resultados. En pocas palabras el conocimiento deberá ser significativo. Tautología y contradicción. Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables. Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación. p | q | p’ | q’ | p®q | q’®p’ | (p®q)«(q’®p’) | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | Note que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición es siempre 1. Las tautologías son muy importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones. A continuación me permito citar una lista de las tautologías más conocidas y reglas de inferencia de mayor uso en las demostraciones formales que obviamente el autor no consideró.. 1.- Doble negación. a). p''Ûp 2.- Leyes conmutativas. a). (pÚq)Û(qÚp) b). (pÙq)Û(qÙp) c). (p«q)Û(q«p) 3.- Leyes asociativas. a). [(pÚq)Úr]Û[pÚ(qÚr)] b. [(pÙq)Ùr]Û[pÙ(qÙr)] 4.- Leyes distributivas. a). [pÚ(qÙr)]Û[(pÚq)Ù(pÚr)] b. [pÙ(qÚr)]Û[(pÙq)Ú(pÙr)] 5.- Leyes de idempotencia. a). (pÚp)Ûp b). (pÙp)Ûp 6.- Leyes de Morgan a). (pÚq)'Û(p'Ùq') b). (pÙq)'Û(p'Úq') c). (pÚq)Û(p'Ùq')' b). (pÙq)Û(p'Úq')' 7.- Contrapositiva. a). (p®q)Û(q'®p') 8.- Implicación. a). (p®q)Û(p'Úq) b). (p®q)Û(pÙq')' c). (pÚq)Û(p'®q) d). (pÙq)Û(p®q')' e). [(p®r)Ù(q®r)]Û[(pÙq)®r] f). [(p®q)Ù(p®r)]Û[p®(qÙr)] 9.- Equivalencia a). (p«q)Û[(p®q)Ù(q®p)] 10.- Adición. a). pÞ(pÚq) 11.- Simplificación. a). (pÙq)Þp 12.- Absurdo a). (p®0)Þp' 13.- Modus ponens. a). [pÙ(p®q)]Þq 14.- Modus tollens. a). [(p®q)Ùq']Þp' 15.- Transitividad del « a). [(p«q)Ù(q«r)]Þ(p«r) 16.- Transitividad del ® a). [(p®q)Ù(q®r)]Þ(p®r) 17.- Mas implicaciones lógicas. a). (p®q)Þ[(pÚr)®(qÚs)] b). (p®q)Þ[(pÙr)®(qÙs)] c). (p®q)Þ[(q®r)®(p®r)] 18.- Dilemas constructivos. a). [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÚr)®(qÚs)] b). [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÙr)®(qÙs)] Contradicción es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es pÙp’ . Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad. p | p’ | pÙp’ | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | Si en el ejemplo anterior p: La puerta es verde. La proposición pÙp’ equivale a decir que “La puerta es verde y la puerta no es verde”. Por lo tanto se esta contradiciendo o se dice que es una falacia. Una proposición compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de la tabla de verdad, dan como resultado 1s y 0s se le llama contingente. Equivalencia lógica. Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como p º q. Considero que un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en donde se puede observar que las columnas de (p®q) y (q’®p’) para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (p®q) º (q’®p’) Reglas de inferencia Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración. Métodos de demostración. Demostración por el método directo. Supóngase que p®q es una tautología, en donde p y q pueden ser proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de variables propositvas, se dice que q se desprende lógicamente de p. Supóngase una implicación de la forma. (p1 Ù p2 Ù.......Ù pn) Þ q Es una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende lógicamente de p1,p2,......,pn. Se escribe. p1 p2 . . . pn ___ \ q Realmente el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el método directo. Significa que sí se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,...... y pn también es verdadera, entonces se sabe que q es verdadera. Prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos por implicaciones de este tipo. (p1 Ù p2 Ù.......Ù pn) Þ q Donde la pi son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión. “Demostrar el teorema”, es demostrar que la implicación es una tautología. Note que no estamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es verdadera, sino solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas. Toda demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las tautologías y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión. Demostración por contradicción. El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo de la demostración es llegar a una contradicción